Introdução à Transformada de Laplace

1.Introdução 

O objetivo deste  artigo  é  apresentar  um  conteúdo  prático introdutório demonstrando  a funcionalidade da transformada de Laplace muito utilizada na matemática, mais especificamente na análise funcional para resolução de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes.

2. Quem foi Laplace? 

 

Vamos  conhecer  um pouco sobre Pierre Simon  ou Marquês de Laplace.
 

Pierre Simon foi um matemático e físico  francês  que  organizou  a  astronomia  matemática,  sumarizando  e ampliando  o  trabalho  de  seu  predecessores  nos cinco  volumes  do  seu livro Mécanique Céleste (Mecânica celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo  geométrico  da  mecânica  clássica  usada  por  Isaac  Newton  para  um estudo   baseado   em   cálculo,   conhecido   como   mecânica física.
 

Também formulou a equação de Laplace. A transformada de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática — campo em que teve um papel principal  na  formação.  O  operador  diferencial de  Laplace,  da  qual depende  muito  a  matemática  aplicada,  também  recebe seu  nome.
 

Ele se tornou conde do Império em 1806 e foi nomeado marquês em 1817, depois da restauração dos Bourbons. 

Laplace

Fonte: http://www.bureau-des-longitudes.fr/membres%20fondateurs/pierre-simon-laplace.htm

3. O que é Transformada de Laplace? 

É definida por uma função f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por: 

As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos  lineares. 

 

A  vantagem  mais  interessante  desta  transformada  é  que  a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo  transforma  a  multiplicação  em  adição.  Ela permite  levar  a  resolução  de equações  diferenciais  à  resolução  de  equações  polinomiais,  que  são  muito  mais simples de resolver.

4.Função Degrau Unitário 

Observe a figura abaixo: 

A definição é: 

É possível representar uma função degrau usando a transformada de Laplace  por  1/s.  Na  tabela  abaixo  está  apresenta do  algumas  transformadas  de Laplace para algumas funções usuais:

5. Função Delta ou Função Impulso 

Definição:

 

 Representação gráfica:

 

 

 Para qualquer n, pode ser facilmente deduzido que1

A função delta (ou função impulso) é dada pelo limite de δn (t) quando n tende para infinito:

Entende-se que:

6. Convergência e Divergência

Para saber se uma função diverge ou converge verifique se o  resultado  da  função tende  ao  infinito. 
Se o  resultado for infinito  as funções  divergem  e  caso  contrário  elas  convergem.

Exemplos:

Logo podemos ver que esta integral converge para ½.

E você, já utiliza a transformada de laplace?